Решения и комментарии по Открытой математической олимпиаде, г.Химки, мкр.Новогорск
Ниже приводим некоторые из возможных решений и не отрицаем существование других.
К задачам 1–7 необходимо дать только ответ. К задачам 8 и 9 нужно записать полное решение. Задачи можно решать в любом порядке. Удачи!
Задача №1
Вчера Света испекла 3 тортика, истратив на них в сумме 10 коржей. Между каждыми двумя коржами был намазан банановый или творожный крем. Банановых слоев было 5. Сколько было слоев творожного крема?
Ответ: 2
Решение 1. Отметим, что на 3 верхних коржа не намазывается крем. Тогда крем намазан на 10 - 3 = 7 коржах. Тогда слоев творожного крема 7 – 5 = 2.
Решение 2. Между 10 коржами 10 – 1 = 9 промежутков. Два промежутка разделяют коржи на 3 торта (число частей на один больше, чем число разрезов/промежутков). Далее считаем, как в решении 1.
Задача №2
Разрежьте квадрат 7 × 7 на фигурки Z-тетрамино и трёхклеточные уголки. (Квадрат и фигурки изображены на рисунке ниже, фигурки можно поворачивать и переворачивать.)
Ответ:Два из возможных разрезаний изображены на рисунке выше. (Есть и другие, засчитывалось любое верное разрезание.)
- Верное разрезание – 3 балла.
- Составлен квадрат без одной или более клеток – 0 баллов.
Задача№3
Сегодняшняя дата записывается так: 20.01.2019. Иван нашел сумму цифр даты и получил 15 (2+0+0+1+2+0+1+9 = 15). Фёдор хочет найти все даты в этом году с суммой цифр в 2 раза большей, чем сегодняшняя. Найдите и вы эти даты.
Решение. Фёдор хочет найти даты с суммой цифр 15 ∙ 2 = 30. Раз все даты в 2019 году, то сумма цифр номеров дня и месяца равна 30 – 12 = 18. Посмотрим на максимальную сумму номера дня, это 29 число – сумма 11, а максимальная сумма номера месяца – 9, это 09 месяц. Аккуратным перебором находим 6 подходящих дат: 29.07, 19.08, 28.08, 09.09, 18.09 и 27.09.
- 6 верных ответов – 3 балла.
- 5 верных ответов – 2,5 балла.
- 3 верных ответа – 1,5 ответа.
- 1 или 2 верных ответа – 1 балл.
Задача№4
Снегопад на Красной площади начался точно в полночь и продолжался ровно 2019 минут. В какое время закончился снегопад?
Ответ: 9:39 (на следующий день).
- Верный ответ – 2 балла.
- Указан ответ 21:39 – 1 балл.
Задача №5
На доске написано число 17. Каждую минуту рядом записывают число, равное сумме его цифр, умноженной на 5. Например, через минуту на доске будет написано число: (1+7) · 5 = 40. Какое число появится на доске через час?
Ответ: 35.
Решение. Выпишем несколько чисел: 17,40,20,10,5,25,35,40… Понятно, что после 40 будет вновь написано 20 и т.д. Образовался цикл из 6 чисел, а так как спустя 60 минут (1 час = 60 минут) будет выписано 60 чисел, кроме 17, то будет выписано ровно 60 : 6 = 10 циклов. В конце 10-го цикла будет число 35.
- Верный ответ – 3 балла.
Задача №6
Из скольких кубиков состоит фигура на рисунке? (Все кубики соединяются друг с другом по граням.)
Ответ: 13.
Комментарий. Нужно было обратить внимание, как стоят кубики слева на заднем плане.
- Верный ответ – 2 балла.
Задача №7
Цифры от 1 до 7 зашифровали буквами, и вышло неравенство: Н>О<В>О<Г>О>Р>С>К (одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры, разными буквами — разные цифры). Чему равна сумма С + О + К?
Ответ: 7.
Решение. Из неравенства следует, что Н, В и Г больше, чем О, но неизвестно, какая из трёх букв обозначает большее число. Ещё известно, что О > Р > С > К. Следовательно, (Н, В, Г ) > О > Р > С > К. Всего 7 различных букв, и было 7 различных цифр, значит, в неравенстве присутствуют все числа от 1 до 7. Поэтому можно сделать вывод, что зашифровано (7, 6, 5) > 4 > 3 > 2 > 1. Хоть найти, какими именно буквами зашифрованы числа 7, 6 и 5, нельзя, но можно найти, что О = 4, Р = 3, С = 2, К = 1.
- Верный ответ – 2 балла.
Задача №8
Кирилл с инструктором пошел кататься на лыжах в Алёшкинский лес. Они выбрали ровный участок длиной 12 км и побежали. Кирилл, впервые встав на лыжи, поехал со скоростью 70 м/мин, а инструктор помчался со своей обычной скоростью 250 м/мин. Добежав до конца трассы, инструктор развернулся и поехал Кириллу навстречу. Через сколько минут от начала движения они встретятся?
Ответ: 75 минут.
Решение. Сначала найдём время, за которое инструктор проедет участок (не забывая перевести 12 км в 12 000 м): 12 000 м : 250 м/мин = 48 мин.
Потом он разворачивается и Кирилл с инструктором теперь едут навстречу друг другу. При этом Кирилл за это время (48 мин) проехал: 48 мин ∙ 70 м/мин = 3 360 м. Итого расстояние между ними: 12 000 м – 3 360 м = 8 640 м. Их скорость сближения равна (70 + 250) = 320 м/мин. Найдем время встречи: 8 640 м : 320 м/мин = 27 мин. Всего прошло 48 + 27 = 75 мин.
Решение (идея распрямления). Будем считать, что инструктор стартует не вместе с Кириллом, а на расстоянии 24 км от него (и идет навстречу). Тогда ему не придётся разворачиваться, и он всё время будет ехать в одном направлении. Их скорость сближения равна 320 м/мин. Время равно: 24 000 м : 320 м/мин = 75 мин.
- Верный ответ – 8 баллов.
- Верное решение с арифметической ошибкой, не влияющей на ход решения – 7 баллов.
- Верное решение без последнего действия, то есть дан ответ «27 минут» – 6 баллов.
- Найдено расстояние между Кириллом и инструктором, когда они начали двигаться навстречу – 4 балла.
- См. предыдущий пункт, но допущена арифметическая ошибка – 3 балла.
- Найдено расстояние, пройденное Кириллом к моменту, когда инструктор прошёл всю трассу – 2 балла.
- Только верный ответ – 1 балл.
- Остальные случаи – 0 баллов.
Задача №9
У Вити в копилке лежат 19 монет. Он помнит, что в копилке точно есть двухрублёвая монетка. Какие бы две монеты он ни доставал из копилки, хотя бы одна всегда была пятирублевой (потом эти монеты снова возвращал в копилку). Какая сумма хранится в копилке?
Ответ: 92 рубля.
Решение. Если взять двухрублёвую монету и любую другую, то одна из них будет пятирублёвой. Значит любая монета за исключением двухрублёвой монеты – пятирублёвая. Их 19 – 1 = 18. И на столе лежит 5 ∙ 18 + 2 = 92 рубля.
